Hurt døde fredelig av naturlige årsaker søndag, en uke før han skulle fylt 72 år, opplyser sønnen Will Hurt.
Hurt fikk Oscar i 1985 for sin rolle i «Edderkoppkvinnens kyss», og to år senere ble han nominert til Oscar igjen for roller i «Kjærlighet trenger ingen ord» og «Broadcast News».
I 2005 ble han nominert for fjerde gang for sin rolle i thrilleren «A History of Violence».